Help_File_EEngine

· Topologique : Entrée des données géométriques du moteur (système bielle manivelle et du vilebrequin). et de la disposition des cylindres (nombre, disposition et ordre d’allumage).

· Régime / Charge : Ici sont entrées les données de régime et de charge.

· Equilibrage : Les caractéristiques du vilebrequin ou des arbres d’équilibrage seront détaillées dans cette section.

· Bibliothèque : Permet de calculer les valeurs d’inertie et de raideur de pièce, utilisable pour le calcul des modes propre d’une ligne d’arbre.

2.1 Topologie :

Course : Course nominale du moteur définit comme étant le décalage entre les axes tourillon et maneton multiplié par deux. Attention : la course réelle, et donc la cylindrée effective pourra être légèrement différente en fonction de la valeur de l’Offset (XoB).
Alésage : Diamètre nominal des cylindres du moteur (idem)
Longueur L : Longueur de la bielle
Lob : Distance entre le centre du maneton et la position du centre de gravité de la bielle sur le segment AB (Prendre un tiers de la longueur L si la valeur est inconnue)
Offset (XoB) : Décalage entre le centre de rotation du vilebrequin (O) et le centre de l’axe piston (B) suivant l’axe X. Attention, le signe est important : négatif pour un décalage vers le coté poussé du piston (CP), et positif pour un décalage coté opposé à la poussé (COP).
M piston : Masse du piston équipé des segments, de son axe et des joints d’axe.
M bielle : Masse de la bielle nue.
M Roul/cou : Masse du roulement ou du coussinet de bielle
Ib bielle : Moment d’inertie de la bielle suivant l’axe Z par rapport à son centre de gravité
Iz Vilo+autre : Moment d’inertie du vilebrequin et de tout autres éléments accrochés à lui (volant moteur, embrayage, distribution, pompe à huile, etc…). Cette donnée est exploitée pour les calculs d’acyclisme.
Largeur coussinet : Largeur utile du coussinet.
Diamètre coussinet : Diamètre du coussinet.
Jeu coussinet : Jeu diamétral entre coussinet et tourillon – maneton - palier.
Viscosité Dynamique : Viscosité dynamique de l’huile utilisée pour les calculs tribologique. Indiqué la valeur en fonction des températures et pression supposées.
CF Piston/Cylindre : C’est le coefficient de frottement moyen entre le piston et le cylindre. Il est utilisé pour le calcul du moment de basculement et est considéré constant sur tout le cycle. Mettre la valeur à 0 pour ne pas tenir compte des frottements.

Repère local R0 du monocylindre.

EEngine peut calculer un moteur à 12 cylindres composé de deux rangés de 6 cylindres en vis-à-vis.

Angle du V : Indiquer l’angle formé entre les deux bancs d’un moteur en V. Dans le cas d’un moteur en ligne, cet angle correspondra à l’angle d’inclinaison des cylindres par rapport au repère R00. Les résultats seront donc exprimés par rapport au repère R00.
Disposition Cyl : Cocher la case pour activer un cylindre. Les cylindres en vis-à-vis partagent le même maneton (le décalage angulaire des manetons reste néanmoins possible). Il n’y aura pas de palier entre les cylindres #1 & #7, #2 & #8, etc…
Ordre d’allumage : Entrer les angles d’allumage en degré. Par convention, indiquer 0 pour l’angle d’allumage du cylindre #1 et indexer les valeurs d’angle des autres cylindres par rapport à celui-ci.

Zo1An : Distance entre le premier tourillon de vilebrequin et l’axe du cylindre n sur l’axe Z (dans le repère utilisé, la valeur est négative. Vous pouvez néanmoins entrer une valeur positive, le logiciel corrigera automatiquement les valeurs positives en valeurs négative).
Zo1on : Distance entre le centre du premier tourillon et le centre du tourillon n (idem).
Entraxe : Espacement entre deux cylindres en valeur absolue. Cette valeur est prise en considération dès lors qu’il est demandé de regrouper les efforts de deux cylindres ayant un maneton commun. Cela permet, dans le cas de moteurs en « V », de négliger certain couple d’ordre mineur (couple de galop et de lacet).

Repère global R00.

2.2 Régime / Charge :

Régime : régime moteur moyen exprimé en tour par minute.
Pcyl / K Pcyl : Pression maximale du cycle / Potentiomètre de contrôle du cycle importé.
PMF : Pression moyenne de frottement
Choix du diagramme : L’utilisateur peut choisir entre trois différents diagrammes disponibles présentant tous des boucles HP plus ou moins forte. Le paramètre de contrôle est alors la pression maxi du cycle thermodynamique. Il est possible d’importer un diagramme (voir ETorque), et de le contrôler à partir du coefficient multiplicateur K pcyl.

Pour importer un diagramme, suivez la procédure suivante.

· Utilisez le fichier modèle File_Pression_Model.xls et enregistrez-le sous un autre nom.

· Complétez le par le cycle de votre choix en prenant garde à respecter l’ordre du cycle thermodynamique (Admission de 0 à 180°, compression de 181 à 360°, etc…) et l’unité (barA). Le fichier doit comporter 720 points au format nombre.

· Sélectionnez « Import » dans la fenêtre Paramètre et cliquez sur le bouton :

· Sélectionnez le fichier voulu.

· Le fichier est importé et sera lié à votre fichier projet.

2.3 Equilibrage :

EEngine permet de prendre en compte l’impact de l’équilibrage du vilebrequin et les caractéristiques du et des arbres d’équilibrages sur les efforts extérieures résiduels : Tamis, Pilon, Galop, Lacet et couple de basculement (Roulis). Pour cela, l’utilisateur doit renseigner les caractéristiques pertinentes :

· Du vilebrequin : Les caractéristiques de masse, d’inertie et de position du centre de gravité concernent le vilebrequin seul, nu sans aucune pièce de l’équipage mobile (bielle), mais avec ces accessoires (plateau d’embrayage ou poulie damper par exemple). Certaine données, telles que le sens de rotation et la position des paliers, sont prédéfinies par convention ou en fonction de la topologie du vilebrequin déjà renseignée dans la section 2.1.

· De l’arbre Primaire et secondaire : Deux arbres d’équilibrages peuvent être ajoutés. Pour ces arbres, toutes les caractéristiques sont à renseigner. Le nombre de palier maximal est de 7 : Pour les définir, il suffit de cocher la case correspondante au palier et de renseigner sa position dans le repère local de l’arbre.

Rapport d’entraînement : Rapport entre le régime de rotation de l’arbre et le régime de rotation du vilebrequin (Pour une valeur de 2 : N_arbre = 2x N_vilebrequin).
Sens de rotation : Sens de rotation de l’arbre. Par convention, le vilebrequin tourne dans le sens trigonométrique.
Masse : Masse de l’ensemble en rotation avec les accessoires, correspondant à la position du centre de gravité renseignée (sans l’équipage mobile pour le vilebrequin).
Position CdG en X : Coordonné du centre de gravité dans le repère lié à l’arbre suivant l’axe des X (attention à bien respecter le signe).
Position CdG en Y : Coordonné du centre de gravité dans le repère lié à l’arbre suivant l’axe des Y.
Produit d’inertie Ixz & Iyz : Produit d’inertie dans les plans xz et yz correspondant aux variantes 2 & 3 (génération de couple d’équilibrage).

Nota : Attention, le signe de la valeur du produit d’inertie est important. Par convention, il sera positif si le moment qu’il génère sur l’axe normal au plan (Ixz sur Y, Iyz sur X) est trigonométrique.

Zv#v, Zp#p, Zs#s : Position des centres des paliers de l’arbre dans le repère lié à l’arbre par rapport au plan médian et ayant pour origine Ov, Op ou Os. Ces valeurs sont automatiquement complétées pour le vilebrequin. Néanmoins, en fonction du mode d’équilibrage de ce dernier (global ou poste à poste), l’utilisateur pourra ne « charger » que les tourillons supportant les efforts engendrés par la présence des contrepoids en cochant les numéros de palier ou tourillon correspondant.
Xov,Yov,Zov : Coordonnés du point Ov par rapport au plan médian du vilebrequin dans le repère R00 lié au vilebrequin (toutes égale à 0 par convention).
Xop,Yop,Zop : Coordonnés du point Op par rapport au plan médian du vilebrequin dans le repère R00 lié au vilebrequin.
Xos,Yos,Zos : Coordonnés du point Os par rapport au plan médian du vilebrequin dans le repère R00 lié au vilebrequin.
Calage : Calage angulaire de l’arbre d’équilibrage indiquant, relativement aux valeurs de masse et d’inertie renseignées, l’angle de calage de l’arbre par rapport aux données renseignées. Attention toutefois au signe de l’angle, qui dépend du sens de rotation de l’arbre (positif quand la masse est en « avance » relativement au sens de rotation et négatif dans le cas contraire).

Nota : Par convention, l’angle « 0 » correspond au PMH admission du cylindre N°1. Il faudra donc veiller à caler correctement le vilebrequin dans certain cas particuliers tels que les moteurs en V, le 3 cylindres, … (voir exemples).

Arbre d’équilibrage dans son repère local

(Translation de R00 suivant X00, Y00 & Z00).

2.4 Bibliothèque :

La détermination des modes propre d’une ligne d’arbre est réalisée à partir du « découpage » de la ligne en éléments élémentaires simples ayant pour caractéristiques principales leur inertie et leur raideur. EEngine permet de lister et de caractériser ces éléments simples. Pour cela cliquez sur « Bibliothèque » afin de faire apparaître la liste de « Pièces » du projet :

Vous pouvez évidement Ajouter, Supprimer, Renommer ou Dupliquer une pièce existante. Pour définir les propriétés de la « Pièce », cliquez sur « Paramétrer » ou double-cliquez sur la pièce. EEngine permet de calculer l’inertie et la raideur des éléments suivant :

· Demi-coude de vilebrequin,

· Barre de torsion cylindrique,

· Barre de torsion conique,

· Barre de torsion épaulée,

Nota : Les propriétés des matériaux devront être préalablement définies.

Par défaut, les valeurs d’inertie et de raideur sont imposées et non liées à une quelconque géométrie, c’est le cas lorsque le calcul est réalisé à l’aide d’un logiciel de CAO 3D ou de calcul FEA (les valeurs sont alors « Forcées »). Les cases à cocher « Imposer l’inertie » et «Imposer la raideur » sont donc sélectionnées.

Les valeurs d’inertie et de raideur intrinsèquement liées à la pièce (Masse_2 dans notre exemple) seront donc les valeurs imposées par l’utilisateur.

Nota : Il est possible d’attribuer à la pièce l’inertie équivalente (moyenne sur un cycle) de l’équipage mobile du projet. Pour cela, cliquer sur « EM », puis sélectionner la valeur désirée pour votre modèle :

Lorsque l’inertie ou la raideur de la pièce n’est pas connue, il est possible de la calculer à partir de sa topologie. Pour cela, décocher « Imposer l’inertie » et / ou «Imposer la raideur ». Sélectionner ensuite le type de pièce :

Barre de torsion (arbre de transmission, arbre à came, volant moteur, vis, etc…): Dans l’onglet « Valeurs imposées », sélectionner le type de pièce « Barre de torsion », puis renseigner scrupuleusement sa topologie :

L : Longueur totale de la barre.
Dexter / Dexter max / Dexter min / Dinter : Diamètres caractéristiques.
L1 : Longueur du Dexter min d’une barre de torsion épaulée.
Excentration : Distance entre l’axe de la barre et son axe de rotation (Attention : L’excentration ne sera utilisée que pour le calcul de l’inertie et n’interviendra pas dans le calcul de la raideur)
Nombre : Nombre d’éléments (même remarque de précédemment)

Paramètres utilisés pour le calcul d’une barre de torsion.

Demi-coude : Dans l’onglet « Valeurs imposées », sélectionner le type de pièce « Demi-coude ».

Renseignez ensuite l’ensemble des dimensions caractéristiques du demi-coude, en vous rapprochant le plus possible de la géométrie réelle de votre pièce et en vous reportant au schéma proposé. Notez cependant les remarques suivantes :

Dm, Dt, Dit, Dim, Ex, Cm, Ct, Hm, Ht & Ep: Valeurs utilisées pour le calcul de la raideur et de l’inertie.

Attention : Dans le cas d’un demie coude équipé d’un contrepoids, le calcul de l’inertie se fera en prenant l’hypothèse que le chanfrein Ct aura pour origine la longueur (Ht + Dt/2).

Lm & Lt: Longueur totale du maneton et du tourillon, utilisées pour le calcul de la raideur et de l’inertie. Les valeurs d’inertie et de raideur indiquées correspondront alors au demi-coude partant du plan central du maneton jusqu’au plan central du tourillon.
Dg, Dd, Rm & Rt : Valeurs de dépouille et de rayon de raccordement utilisées uniquement pour le calcul de la raideur.
Wmin & Wmax : Largeurs minimale et maximale du bras utilisées pour le calcul de la raideur.

Attention : Le calcul de l’inertie ne tiendra pas compte de ces valeurs, mais utilisera uniquement le profil renseigné dans la partie « Contrepoids » en considérant que le profil reliant le tourillon et le maneton sera défini par une droite tangente au rayons (Hm + Dm/2) et (Ht + Dt/2).

L’utilisateur pourra utiliser ces valeurs pour le calcul de la raideur en cliquant sur

Dans le cas ou Wmin et Wmax seraient trop éloignés du profil renseigné, il sera alors préférable de forcer la valeur d’inertie.

Km, Kt, R1, R2, L1, L2 & Rc : Valeurs utilisés uniquement pour le calcul de l’inertie.

Type : Bras simple ou contrepoids, intervenant uniquement dans le calcul de l’inertie.

Vue de face et vue de profil d’un contrepoids.

Paramètres utilisés pour le calcul d’un demi-coude (avec ou sens contrepoids).

Calcul :

Cliquez ensuite sur « Calculer » afin d’affecter les valeurs d’inertie et de raideur à la pièce :

Matériaux : Dans cette section, vous allez définir les caractéristiques mécaniques des pièces de la bibliothèque. Ces valeurs seront utilisées pour le calcul des inerties, des raideurs, etc…. Vous pouvez utiliser les valeurs par défaut de l’acier utilisé usuellement pour la réalisation des éléments de l’équipage mobile (vilebrequin).

Module d’Young : Module d’élasticité du matériau utilisé pour le calcul des caractéristiques des « Parts » de la bibliothèque.
Coef Poisson : Coefficient de poisson (idem).
Masse Volumique : Masse volumique du matériau (idem).

Exploitation des résultats

3.1 Constantes :

3.1.1 Constantes dimensionnelles

DIMENTIONNEL :

1. Cylindrée totale : Par convention, la cylindrée sera calculée avec la course renseignée par l’utilisateur et ne tiendra pas compte de la modification de la course maximale induite par l’offset (XoB). Cette valeur sera utilisée pour le calcul des pressions moyennes (PMI, PME, PMF).

2. Cylindrée unitaire : Volume nominal d’un cylindre.

3. Rapport Lambda (L/R) : Rapport de la longueur de bielle sur la demi-course. Valeur généralement comprise entre 3 et 4. Il est souvent utile, pour un encombrement donné, de réduire les efforts latéraux du piston sur la chemise. Pour cela, un L fort permet de réduire l’angle maximal d’inclinaison de la bielle. A contrario, un L faible permet de minimiser la masse et l’inertie de la bielle. Un compromis doit donc être trouvé en fonction de l’encombrements disponible et des paramètres d’utilisation moteur (régime et charge).

4. Demi-course (R) : Distance entre l’axe des tourillons et l’axe des manetons.

5. Longueur L1b de la bielle : Distance entre l’axe du pied de bielle et le centre de gravité de la bielle

6. Ratio L1b/L : Rapport de longueur définissant la position du centre de gravité de la bielle. Ceci peut être utile lors de la conception de la bielle. Certains moteurs auront des efforts de « déséquilibrage » influencés par la valeur des masses alternatives ou des masses rotatives. Dans le cas ou l’implantation d’un arbre d’équilibrage n’est pas envisageable (encombrement, simplicité, masse, …), il peut être intéressant d’optimiser au plus juste la position du centre de gravité de la bielle.

PARAMETRES DE FONCTIONNEMENT :

1. Régime : Vitesse de rotation moteur en rad/s.

2. Vitesse moyenne piston : Vitesse moyenne du piston utilisée comme critère au-delà duquel le rendement de combustion va chuter de manière dramatique (fonction de la vitesse du front de flamme). Les valeurs usuelles sont : 25 m/s pour un moteur à allumage commandé et 15 m/s pour un moteur à auto-allumage (diesel). Ceci permet de connaître le régime maximal que peut atteindre un moteur.

3. Puissance : Puissance moteur en CV et en kW

4. Couple : Couple moteur effectif.

5. PMI : Pression moyenne indiquée (voir ETorque).

6. PME : Pression moyenne effective calculée à partir de la valeur de PMF renseignée et du cycle thermodynamique choisi ou importé. PME = PMI – PMF.

MASSES ET INERTIES :

1. Masse Alt (totale) : Masse ayant un mouvement alternatif. C’est la masse par poste de l’ensemble piston complet (segment, axe, …) et de la partie alternative de la bielle.

2. Masse Rot (totale) : Masse ayant un mouvement de rotation par rapport à l’axe vilebrequin (Z). C’est la masse par poste d’une partie de la bielle complète et des coussinets / Roulement.

3. Masse Alt bielle : Masse de la partie de la bielle ayant un mouvement alternatif.

4. Masse Rot bielle : Masse de la partie de la bielle ayant un mouvement rotatif.

5. Inertie théo bielle (en G) : Inertie exprimée au centre de gravité de la bielle calculée à partir des coordonnées théorique du centre de gravité et de la masse totale de la bielle.

6. Inertie équipage mobile (/poste) : Inertie équivalente (valeur moyenne) de l’ensemble bielle + Piston pour un cylindre. Cette valeur est indispensable au calcul des modes propres de la ligne d’arbre. En réalité, cette inertie fluctue en fonction de l’angle vilebrequin mais peut être résumée à sa valeur moyenne.

3.2 Cinématique :

3.2.1 Course Piston :

3.2.2 Angle Bielle :

3.3 Dynamique :

6.3.1 Vitesse Piston :

3.3.2 Vitesse Tête Bielle (X) / 3.3.3 Vitesse Tête Bielle (Y) :

Ces efforts sont les mêmes que ceux définis dans les points 3.4.3 & 3.4.4 mais exprimés dans la base 1, c'est-à-dire dans le repère local du vilebrequin.

3.4.7 Moment de basculement (dans R0)

C’est le moment sur l’axe de rotation du vilebrequin engendré par les efforts latéraux du piston sur le cylindre.

3.4.8 Couple moteur monocylindrique

C’est la couple moteur monocylindrique d’un moteur à n cylindre(s). Il est composé du couple d’inertie, généralement de « forme sinusoïdale » et d’un pic de couple riche en harmoniques provoqué par les efforts de gaz (compression / combustion).

3.4.9 Diagramme Polaire Axe Piston

Diagramme polaire construit à partir des composantes des efforts sur X et sur Y de la bielle sur l’axe de piston. On remarque ici l’excroissance générée par les efforts dû aux gaz, et celle beaucoup plus faible dû aux inerties (moteur à pleine charge). Les conséquences sur le dimensionnement tribologique de l’axe seront différentes si cet axe est monté glissant dans le piston et dans la bielle ou s’il est émanché serré dans la bielle ou dans le piston (blocage en rotation de l’axe).

3.4.10 Diagramme Polaire Tête de bielle

C’est le diagramme polaire des efforts au niveau de la tête de bielle dans le repère de la bielle. On note également l’influence des efforts dû aux gaz. Ce diagramme est fondamental pour la détermination du diamètre des manetons. Il l’est également pour la validation de la tenue et le choix des coussinets.

3.4.11 Diagramme Polaire Maneton

Diagramme polaire du maneton. Il est indispensable pour le choix de la localisation des trous d’arrivé d’huile. Ces derniers devront autant que possible être placés hors des zones de forte charge.

Les valeurs de pression moyenne et maximale sur un cycle sont données ci-dessous (voir détails et commentaires ci-après) :

3.5 Charge Palier Vilebrequin :

3.5.1 Diagramme Polaire Tourillon #n :

Ce diagramme servira de base au dimensionnement des paliers de vilebrequin et servira également de condition limite pour le calcul par éléments finis du bloc moteur et du carter chapeau.

3.5.2 Pression Tourillons/Maneton (Moy/Max) :

Le calcul de la pression et du facteur PV des coussinets de ligne d’arbre est ici une indication du chargement spécifique et de l’énergie dissipée dans le film d’huile. La littérature est extrêmement floue et imprécise sur les valeurs maximales admissibles par un coussinet. Cela peut allée de 300 Mpa.m/s en valeur maxi à 30 Mpa.m/s en valeur moyenne…

Il faut bien comprendre que ces valeurs de pression sont les pressions que va subir le film d’huile, et non pas le coussinet à proprement parlé. Dès lors, il est inutile de baser le choix des diamètres de tourillon ou de coussinet sur ces paramètres.

Il faut par contre, à partir des diagrammes polaires et des caractéristiques de l’huile, calculer la hauteur du film d’huile minimale en régime hydrodynamique (ou Elasto Hydro Dynamique suivant le cas…) et les températures maximales de ce dernier. La hauteur du film d’huile ne devra pas être inférieure à quelque µm pour une tenue correcte du coussinet (voir chapitre concerné).

3.5.3 Export Charges Vilebrequin

Ceci permet d’extraire les charges de l’équipage mobile sur le vilebrequin. Ceci est indispensable pour les calculs par éléments finis des contraintes et le bon dimensionnement du vilebrequin. Une attention particulière devra par ailleurs être portée au niveau des contraintes dans les congés de raccordement des manetons et des tourillons.

3.6 Charge Palier Arbre Primaire / Secondaire :

3.6.1 Diagramme Polaire Palier #n :

Ce diagramme servira de base au dimensionnement des paliers d’arbre et de ses roulements / coussinets. Il servira également de condition limite pour le calcul par éléments finis du bloc moteur et du carter chapeau.

3.6.2 Pression Palier (Moy/Max) :

Les paliers d’arbre d’équilibrage ne se comportent et ne se dimensionnent pas comme les tourillons et les manetons. En effet, les efforts de l’arbre sur les paliers sont des efforts tournants et en cela, les critères de pression à considérer sont différents de ce que nous pouvons connaître pour les tourillons et les manetons.

L’ordre d’idée pour la pression acceptable est de 10 MPa pour être conservateur à 15 MPa pour des versions moins conservatives.

Evidement, cela dépends également de la déformation concomitante à l’hétérogénéité massique spatial de l’arbre d’équilibrage: Cela conduit inexorablement à une répartition inhomogène de la pression de contact sur le palier et à une usure localisée importante (bord de palier).

3.7 Efforts extérieurs

Dans ce qui suit, nous allons faire le distinguo entre les efforts extérieurs « Bruts » et les efforts « Nets », tel que :

· Les efforts « Bruts » : Ce sont les efforts sans aucun artifice d’équilibrage (sans Arbre d’Equilibrage).

· Les efforts « Nets » : Ce sont les efforts extérieurs avec la prise en compte de tous les artifices d’équilibrages (Avec les Arbres d’ Equilibrages, c'est-à-dire le vilebrequin, les arbres primaire et secondaire).

3.7.1 Couple Moteur Instantané

3.8 Efforts d’équilibrage :

Dans cette section, les efforts et couples induit par les artifices d’équilibrage dont les caractéristiques ont été renseignées dans la section 2.3, sont exposés. Il est à remarquer que le couple de basculement n’est généré que par les arbres primaire et secondaire, le vilebrequin n’en générant aucun (coaxial à Z00).

Ces efforts et couples, une fois sommés aux efforts extérieurs « Bruts », définissent les efforts extérieurs « Nets ». Ce sont les efforts nets qui permettront, in fine, de calculer les efforts résultants aux appuis (supports moteur).

Une analyse de la localisation spatiale de la position des appuis par rapport au plan médian du vilebrequin (Ov) sera alors indispensable par le dimensionnement mécanique de ces composants.

En complément, les constantes d’équilibrage sont également affichées :

1. Masse coquille d’équilibrage (par poste) : Masse de la coquille d’équilibrage à ajouter au maneton dans le cas ou le vilebrequin sera équilibré dynamiquement sur une équilibreuse. Cela se révèle indispensable dans certaines configurations moteur (V6, 3 cylindres) et inutile dans d’autres configurations (4 cylindres en ligne à vilebrequin plat,…).

2. Excentration Vilebrequin / Arbre Primaire & Secondaire : Excentration du centre de gravité de l’arbre calculée à partir des coordonnées renseignées dans la section 2.3 (Position CdG en X et en Y).

3.9 Tribologie Maneton / Tourillon / Palier :

La résolution des équations d’élastohydrodynamique, telle que définies dans le « Engineering Tribology » (GW Stachowiak & AW Batchelor, SAE2002-01-3355), permet de calculer les grandeurs suivantes :

3.9.1 Hauteur du film d’huile :

Pour les coussinets de bonne qualité (trimétal), nous pouvons estimer qu’une hauteur inférieure à 2-3µm sur le maneton est très critique : Le concepteur veillera donc à limiter l’utilisation du moteur dans les zones de faible h_mini (faible régime, forte charge) ou de modifier la topologie du maneton (diamètre, rainure d’alimentation, etc…).

3.9.2 Excentricité relative :

L’excentricité relative est définie comme la position relative du centre du maneton ou du tourillon par rapport au centre du coussinet.

3.9.3 Puissance de frottement :

3.9.4 Débit d’huile :

Les valeurs remarquables sont extraites des résultats précédents :

Nota : Il faut garder à l’esprit la complexité de phénomènes qui ont lieux au sein d’un film d’huile. Les défauts géométriques, les désalignements statique et dynamique, les rugosités, les capacités tribologique des matériaux en vis-à-vis et pire encore la déformation des éléments (carter, tête de bielle) sont autant d’éléments ayant une influence prépondérante sur le régime de lubrification.

Les propriétés du lubrifiant a une influence d’ordre 1 sur la définition de la hauteur du film d’huile. Or, nous considérons ici, comme dans la plupart des solveurs de ce type, une viscosité dynamique constante. Nous devrions faire évoluer cette viscosité en fonction :

De la température (équation de Vogel) :

h = k.exp(q1/q2+T)

De la pression (équation de Barus) :

h(P) = h(0).exp(aP)

3.10 Analyse modal :

3.10.1 Mode propre :

Dans l’onglet « Résultats », cliquez sur « Analyse(s)modales » afin de faire apparaître l’ensemble des modèles de votre projet :

Double cliquer sur le nom du modèle dont vous voulez afficher les modes propres. La liste des modes détectés apparaît (8 au maximum de 0 à 200000 tr/min) :

Mode propre du modèle « Vilebrequin_Global »

3.10.2 Amplitude relative :

Le calcul des modes propre d’une ligne d’arbre n’est utile que si l’on peut visualiser la déformation de la ligne associée à chaque mode, et en localiser les nœuds de vibration. Un nœud étant défini comme l’endroit ou la déformée passe par une amplitude relative nulle (avec une inversion de signe).

Pour cela, il est indispensable de visualiser les amplitudes relatives des disques d’inertie, relatif à un déplacement arbitraire du premier disque de la valeur d’une unité. Cela permet de localiser l’élément de la ligne d’arbre concernée (Voir l’exemple ci-après)

Double cliquer sur l’une des valeurs de mode propre afin d’afficher le graphique des amplitudes relatives qui lui est associé :

Amplitude relative du mode à 47353 tr/min

(Mode vilebrequin avec un nœud entre les inerties 7 & 8)

L’analyse de ces résultats sera détaillée au paragraphe 4.0.

3.11 Calcul automatique :

3.11.1 Map Harmonique et incrémental

EEngine est capable de « mapper » une grandeur en fonction du régime et d’une seconde variable. Certains efforts ou couples sont susceptibles de varier en fonction du régime et de la charge. Il est donc utile de pouvoir placer sur un diagramme Variable / Régime les valeurs de ces efforts.

L’exemple ci-dessous montre le mapping de la valeur des couples harmoniques de rang 2, 4, 6 et 8 du couple moteur.

Les valeurs du couple moyen et des phases ont été rajoutées. La pression cylindre (charge) va varier de 30 à 80 bar par pas de 5 bar et le régime de 500 à 5000 tr/min par pas de 500 tr/min.

Le calcul, une fois lancé peut prendre quelques minutes et sera stocké dans un fichier.

F Nota : Il est possible d’écrire un fichier de <Tous> les résultats pour chaque configuration de calcul. Dans ce cas, il est indispensable d’indiquer le répertoire d’écriture des fichiers.

L’exploitation de ces résultats pourra être corrélée avec le diagramme d’utilisation régime / charge du moteur. Pour notre exemple, un moteur ayant une loi hélice comme loi régime / charge sera autant soumit au couple harmonique d’ordre 2 que d’ordre 4.

Au contraire, un moteur utilisé dans l’automobile aura plusieurs zones correspondant à l’utilisation en ville, sur autoroute, etc… Pour un moteur de compétition, les diagrammes d’utilisation varieront suivant le circuit utilisé, même si la pleine charge et les hauts régimes seront fortement utilisés.

Valeur du couple harmonique d’ordre 2

Concrètement, ces calculs sont très utiles pour le calcul de la tenue des éléments de transmission et des éléments annexes fixés au moteur. Si l’on considère par exemple une tubulure d’admission d’un moteur de compétition, fixée rigidement à la culasse et ayant sa fréquence propre située au dessus de la fréquence maximale de rotation du moteur.

Cette tubulure sera excitée par les débattements du moteur autour de son axe de rotation (fonction du mode de fixation du moteur au châssis), eux même induit par les couples harmoniques du couple moteur d’ordre n.

Il est donc possible, à partir des diagrammes ci-dessus, de savoir si la fréquence propre de la trompette sera excitée par l’ordre n en question…

Dans ce cas, il est possible de procéder à des calculs par éléments finis sur le mode propre de la dite tubulure en prenant en compte le taux d’amortissement de l’élément et en étudiant sa réponse en fréquence. Une tubulure en carbone sera plus tolérante qu’une trompette en aluminium lorsque qu’elle sera excité sur sont mode propre…

Calcul modal

Le calcul des modes propre d’une structure peut se faire de plusieurs façons. La plus courante est l’utilisation des logiciels de calculs par éléments finis. Evidement, la connaissance des conditions limites est impérative pour une corrélation irréprochable.

Une autre méthode consiste à modéliser une succession de disques de masses M ou d’inerties I reliés entre eux par un élément de type « ressort » à raideur constante et à amortissement nul. Il est possible de modéliser des éléments tel que :

· Les vilebrequins,

· Les bielles,

· Les ressorts (ressort conique),

· Etc…

4.1 Utilisation et mise en donnée

Pour introduire un nouveau cas d’analyse, cliquez sur le bouton « Ajouter » depuis la bibliothèque des cas d’analyse, puis donnez-lui un nom. Par défaut le modèle comportera deux inerties reliées par une raideur.

Cliquez ensuite sur «Paramétrer » (ou double cliquez dans la liste des modes) pour afficher le détail du modèle. La boite de dialogue suivante s’affiche :

Le ressort K_n est le ressort situé entre les disques ou inerties I_n et I_n+1. Vous pouvez créer un modèle contenant jusqu'à 30 inerties et 29 raideurs.

Dans la fenêtre Raideurs & Inerties, double cliquez sur le disque ou la raideur à modifier. Documenter :

Le nom : Renseigner de manière explicite le tronçon concerné.
La valeur de l’inertie, de la masse ou de la raideur : Respectez bien les unités indiquées.
Le rapport Nmot/N : Rapport de vitesse du disque et de la raideur associée par rapport au régime moteur de référence. Par exemple le disque représentant un arbre à cames aura un rapport de réduction de 2 par rapport au régime de référence du vilebrequin.
Les commentaires : N’hésitez pas à détailler l’élément (vis = inertie de tel valeur, Raideur en prenant en compte tel paramètre…)

Calcul des inerties : Le calcul des inerties, pour être rapide et correct, peut se faire avec l’aide d’un logiciel de CAO 3D. Le découpage dépend du bon jugement de l’utilisateur. Le maillage doit être suffisamment fin pour obtenir une valeur de mode précise. Il ne sert néanmoins à rien d’avoir un maillage trop fin : La complexité du modèle et le risque d’erreur augmentent en conséquence. Il ne faut pas perdre de vue que l’erreur sur le mode sera divisée de toute manière par le rang des l’harmoniques dangereuses.

Calcul des raideurs : Ce calcul peut être simple dans le cas de géométrie de même nature (arbre modélisé par une barre de torsion) ou vraiment complexe (bras d’un vilebrequin). Dans ce cas, il faut se reporter aux formules empiriques (TUPLIN, CARTER, KER WILSON, TIMOSHENKO) ou aux abaques disponibles dans la littérature (BICERA). La méthode de détermination par abaque est fiable et relativement courante.

Il existe de nombreuses formules pour la détermination des raideurs dans les assemblages (cannelure), pour autant, il faut prendre garde au « modèle trop propre » et se conformer à la réalité. L’influence d’un jeu dans une liaison peut être d’ordre 1 suivant la valeur du jeu… Ces modèles doivent être corrélés avec des mesures pour être efficace.

Utilisation des pièces de la bibliothèque : Vous pouvez également utiliser votre bibliothèque de pièce (voir 2.4) et les caractéristiques ainsi calculées (Inerties et raideurs)

Pour cela, sélectionner dans la liste déroulante l’inertie concernée (ici I2 que nous avons nommé Masse 1). Dans la section « détail local », les pièces utilisées pour le calcul de l’inertie I2 sont mises en gras. La liste des pièces disponible apparaît alors dans la liste déroulante, en remarquant que :

· 3 pièces peuvent être ajoutées pour le calcul de l’inertie de In.

· 1 pièce peut être ajoutée pour le calcul de la raideur Kn.

· La valeur <Nul> signifie qu’aucune pièce n’est utilisée dans la liste déroulante.

· Lorsqu’aucune pièce n’est utilisée, l’utilisateur peut renseigner la valeur directement dans les zones de texte à droite, ou plus classiquement en sélectionnant l’élément dans la liste déroulante.

· Si l’utilisateur modifie les caractéristiques des pièces de la bibliothèque, le modèle devra être mise à jour. Dans ce cas, cliquer sur « Mise à jour » (automatique à l’ouverture du modèle).

F Nota : Lorsque vous modifiez le rapport de réduction, vous pouvez propager la valeur aux inerties et aux raideurs antérieures ou postérieures.

4.2 Détermination des harmoniques dangereuses et du travail relatif

Afin de déterminer l’importance d’une harmonique, et donc sa dangerosité, il est nécessaire de calculer le travail maximal sur un cycle de vibration. Le calcul de l’importance d’une harmonique fait appel au calcul de l’énergie dissipée au niveau des déformations d’une ligne d’arbre et des couples excitateurs associés.

Le travail maximal sur un cycle de vibration du couple harmonique d’ordre q à la résonance est donné par la formule suivante :

Le calcul n’est pas directement fourni par EEngine car il est nécessaire de connaître la manière dont l’utilisateur a maillé son modèle. Un exemple de calcul du travail maximal d’une harmonique 2 est donné ci-dessous pour un moteur 4 cylindres à plat d’un avion léger :

4.3 Exemple de modélisation :

L’exemple ci-dessous représente le modèle d’un moteur de bateau 3 cylindres diesel Hors Bord. La modélisation est complète puisqu’elle intègre la distribution, la ligne d’arbre (vilebrequin), l’arbre de transmission et la boîte de vitesse.

Note importante : Le découpage des bras du vilebrequin peut être fait de diverses façons, adaptées au niveau de détail et à la topologie du vilebrequin, par exemple :

· Modèle à un disque : Le coude est modélisé par un disque d’inertie égale à la somme de l’inertie de l’équipage mobile, plus l’inertie du coude entier ; encadré par deux ressorts de torsion sans inertie de raideur représentative des demi-coudes droits et gauches.

· Modèle à deux disques : Le coude est modélisé par deux disques d’inertie respective égale à la somme de l’inertie d’un demi coude, plus l’inertie d’un demi équipage mobile (ou un entier pour un moteur en V) ; encadré par deux ressorts de torsion sans inertie de raideur représentative des demi-coudes droits et gauches.

Dans cet exemple, nous utiliserons deux disques pour modéliser les coudes du vilebrequin.

Le vilebrequin est composé des trois géométries de contrepoids différentes. Les contrepoids des cylindres 1 & 2 ont une géométrie assez simple. EEngine sera donc en mesure de prédire leur inertie, soit respectivement 4331 & 3597 kg.mm² (pour 4316 & 3597 kg.mm² issue d’une mesure avec un logiciel CAO 3D).

Mesure de l’inertie du demi-coude du cylindre 1

Mesure de l’inertie du demi-coude du cylindre 2

Néanmoins, le contrepoids du troisième cylindre présent une particularité géométrique (chanfrein sur le diamètre extérieur du contrepoids) qui ne sera pas prise en compte par EEngine. Il est donc plus pertinent de corriger la valeur d’inertie.

Mesure de l’inertie du demi-coude du cylindre 3

La correction de la valeur d’inertie pour le cylindre 3 se fait en cochant la case « Imposer l’inertie » et en renseignant la valeur :

Finalement, chaque demi-coude sera représenté par un disque d’inertie égale à l’inertie d’un demi coude plus l’inertie d’un demi équipage mobile, tenue de part et d’autre par les raideurs des deux demi coudes connexes, tel que :

La distribution sera simplement modélisée pas un disque d’inertie raccordé à une raideur représentant la raideur de la courroie de distribution (ou d’une chaîne et de ses guides). Le disque aura une valeur d’inertie correspondant essentiellement à l’arbre à came, aux poulies, et à l’ensemble cinématique (basculeur, soupape, etc…). Le rapport de réduction sera alors égal à 2.

La transmission sera modélisée par une barre de torsion de raideur équivalente à sa longueur totale, l’inertie étant répartie en deux disques représentatifs de l’inertie de sa demi-longueur. Le volant moteur sera modélisé de manière simple et tenant compte de l’ensemble de ces composants (vis, disque, etc…).

Nous ajouterons les inerties de l’ensemble dans accessoires (pompe à eau, renvoi d’angle, machine électrique, etc…).

L’inertie de l’hélice a été majorée de 25 à 30% afin de tenir compte de l’eau située en inter-pale.

4.4 Analyse des résultats :

Après cette première phase de modélisation, il est maintenant important de passer à l’analyse des résultats, notamment par l’interprétation des modes propres calculés et par la lecture des amplitudes relatives.

· Identification des nœuds de vibration : La première chose à observer est la localisation des nœuds de vibration de chaque mode. Cela permet d’identifier le ou les éléments sollicités composant la ligne d’arbre. Cela permettra également d’identifier les couples excitateurs et les rangs des harmoniques qu’il faudra considérer. Dans notre exemple :

Mode de transmission

Mode de transmission : Le premier mode doit être autant que possible un mode de transmission. Ainsi, on privilégiera la présence d’un nœud de vibration au niveau de la transmission, ici entre les disques 11 et 12. De préférence, ce premier mode se situera entre le moteur et la boîte, ou entre le moteur et le frein, et en deçà du régime démarreur.

Mode de distribution

Mode de distribution : Le second mode est très souvent un mode de distribution. La raideur dimensionnante est la raideur de la courroie, de la chaîne ou de la cascade de pignon. Le couple excitateur sera obtenu par le calcul du couple total au niveau de l’entraînement de l’arbre à came (somme des moments de chacune des cames, voir EValve).

La décomposition du couple arbre à came permettra d’identifier l’harmonique fondamentale : Un quatre cylindres en ligne génèrera un couple harmonique d’ordre 2 (H4 sur le régime AAC et donc H2 au régime vilebrequin), un 3 cylindres en ligne un couple harmonique H1,5.

Le nombre de soupapes par cylindre, la masse des éléments de la distribution, les lois de levée de soupape et la raideur des ressorts seront les grandeurs physiques déterminant la valeur du couple harmonique fondamental.

Mode de vilebrequin

Mode de vilebrequin : Il faut éviter autant que possible la présence de ce mode dans la plage de fonctionnement et son excitation par un des couples harmoniques. Le très faible taux d’amortissement de la fonte ou de l’acier utilisé pour la construction des vilebrequins ne permet pas de vivre raisonnablement avec ce genre de mode (contrainte dans les congés inacceptable).

· Régimes dangereux : Après avoir déterminé les harmoniques dangereuses (voir 4.2), ou par une analyse FFT des couples excitateurs, afficher les modes propres :

Dans notre exemple (moteur 3 cylindres), nous avons identifié les harmoniques 1,5-3-4,5-6-7,5 et 9 comme étant critique (majoritairement la H3). La plage de régime comprise entre 2900 et 4100 sera à proscrire, puisque qu’elle sollicitera les modes de transmission, de distribution et de vilebrequin… Il sera donc nécessaire contourné ces problèmes par des solutions adaptées.

Mode de transmission : Deux solutions pour tuer ce mode. La première est d’augmenter la raideur de l’arbre de transmission lorsque le mode est proche du régime maximal d’utilisation (augmentation du diamètre, diminution de la longueur,…). Dans le cas contraire, il faut réduire la raideur afin de faire passer le régime critique en dessous du régime minimal (élément souple, moyeu à ressorts et disque de friction, etc…).

Mode de distribution : Il est possible de « vivre » avec un mode de distribution (le taux d’amortissement d’une courroie peut le permettre), mais le mieux est de le « contrer ». Pour cela, l’ajout d’un batteur (disque d’inertie monté sur une rondelle de caoutchouc, accordé sur le régime critique) ou de grelots est envisageable (pendules disposés sur un disque rotatif accordés sur le régime critique. Son dimensionnement, assez délicat et minutieux, doit tenir compte de la « contre-inertie » nécessaire ou « IMF »).

Mode de vilebrequin : Il sera alors indispensable de réduire les inerties, ou d’augmenter les raideurs par une augmentation du recouvrement maneton / tourillon. Par exemple, un V12 diesel de haute performance peut très facilement avoir un mode vilebrequin inférieur à 20000 tr/min, donc concerné par les couples harmoniques d’ordre 3 et d’ordre 6 (vilebrequin très long et masse alternative / rotative très forte).

Il est dans ce cas possible de supprimer les masses d’équilibrage (contrepoids) entrant usuellement dans le dessin des vilebrequins. Ces derniers sont généralement destinés à équilibrer poste à poste les masses rotative et alternative et permettent de réduire les contraintes mécaniques dans les congés des manetons et des tourillons. Un design ingénieux des congés des manetons (type Under-Cut) permet de diminuer énormément les contraintes dans ce congé de raccordement le plus chargé. Les solutions de type batteur, comme pour un arbre à came, peuvent bien évidement être utilisée.

Equilibrage de quelques configurations moteur

5.1 Méthodologie :

La littérature fait abondement référence aux techniques d’équilibrage des moteurs alternatifs et l’utilisateur pourra s’en inspirer. Néanmoins, la démarche permettant la détermination de la possibilité d’équilibrage d’une part, et des moyens à mettre en œuvre d’autre part, doit être méthodologique et rigoureuse. Pragmatiquement, il faut suivre les étapes suivantes :

· Tout d’abord, il faut analyser les efforts ou des couples extérieurs bruts (3.7), puis extraire le module et la phase de ces efforts alternatifs avec une décomposition harmonique (FFT) : C’est en générant des efforts et couples contraires en opposition de phase avec les sollicitations de l’attelage mobile que l’on équilibrera le moteur.

· Déterminer les ordres majeurs : les régimes de rotation des efforts alternatifs bruts aux ordres 1 et 2 nécessitent souvent un équilibrage. (Un calcul des efforts sur les appuis de fixation du moteur ou des débattements générés par ces efforts est indispensable. Les conséquences d’un déséquilibre peuvent varier très nettement en fonction de l’application : marine, automobile, motocycle, …).

· Etudier de possibilité d’équilibrage à l’ordre 1 et dans le même sens de rotation que le vilebrequin : Dans ce cas des masses additionnelles peuvent être rapportées au vilebrequin. Leur produit K=m.R (m =masse du contrepoids et R rayon du centre de gravité de la masse par rapport à l’axe de rotation du vilebrequin) dépendra des efforts à contrer : ces efforts seront de même norme que l’effort harmonique d’ordre 1. Leur positionnement angulaire sera fonction de la phase de l’effort harmonique. (L’export de la décomposition en série de Fourrier comprend le module et la phase).

· Etudier la possibilité d’équilibrage avec un ou plusieurs arbres d’équilibrage : ils pourront équilibrer l’ordre 1 contrarotatif ou l’ordre n. La démarche est exactement la même que précédemment.

Les exemples suivant ont pour vocation d’illustrer cette procédure, tout en éclairant le lecteur sur les méthodes d’équilibrage des configurations topologique des moteurs les plus usuelles : Le monocylindre, le moteur trois cylindres en ligne (de plus en plus courant suite a la dernière tendance de downsizing), et enfin le vénérable quatre cylindre en ligne à vilebrequin plat…

5.2 Monocylindre :

Ce premier exemple va nous permettre d’appliquer la démarche précédemment citée et de proposer quelques méthodes d’équilibrage. Tout d’abord, commençons par une astuce qui va nous simplifier la vie par la suite.

5.2.1 Constant d’équilibrage et réglage du régime moteur :

Dans le cas du monocylindre, nous allons voir que les efforts à équilibrer sont à l’ordre 1, c'est-à-dire au même régime que le régime de rotation.

Nous pouvons remarquer que le module F d’un effort sinusoïdal (en N) sera, avec m la masse en (kg), r l’excentration du centre de gravité de l’objet en rotation (en mm), et w le régime de rotation (en rad/s) :

Avec

Cette constante k est appelé « constante d’équilibrage ». Il est intéressant de remarquer que l’effort F sera égale à la constante k lorsque w² sera égale à 1000, soit lorsque le régime de rotation sera égal (en tr/min), à :

Cela sera donc très utile lorsque l’heure sera venue de déterminer les constantes d’équilibrage des arbres. Pour la suite, régler le régime moteur à 302 tr/min :

5.2.2 Détermination des efforts extérieurs bruts :

Les efforts de tamis bruts sont à l’ordre 1, d’un effort de 3,158 N et de phase p.

Effort de Tamis brut et sa décomposition de Fourier.

Les efforts de pilon brut sont à l’ordre 1, d’un effort de 10,101 N et de phase p/2.

On peut remarquer le même ordre majeur (1) que l’effort de tamis, un module différent et un décalage de p/2 entre le pilon et le tamis.

Exemple du monocylindre HUSABERG FE450 utilisant un arbre

d’équilibre contrarotatif concentrique au vilebrequin

5.3 Multicylindre : 3 cylindres en ligne :

L’équilibrage du moteur 3 cylindres en ligne est très intéressant, car il nécessite une très bonne observation des efforts bruts et une certaine ingéniosité dans la méthode d’équilibrage. Observons dans un premier temps les efforts bruts @302 tr/min, on se retrouve avec :

· Zéro tamis

· Un pilon ridicule à l’ordre 6.

· Un gros galop de 12.157 N.m à l’ordre 1, phasé à 240°

· Un galop assez faible de 2.025 N.m à l’ordre 2.

· Et un lacet de 4.434 N.m également à l’ordre 1, et phasé à 150°

La bonne nouvelle, c’est que les efforts à équilibrer sont majoritairement au même ordre (ordre 1). La mauvaise, c’est que les modules sont vraiment différents avec un rapport galop sur lacet d’environ 3. L’idéal aurait évidement été d’avoir le même module pour le galop et pour le lacet… La question suivante s’impose donc : est-il possible, en déséquilibrant le vilebrequin, de mettre ces deux couples au même niveau ?

Pour cela, introduisons un couple de galop (et par conséquence de lacet) avec un balourd dans le planYZ calé à -30deg, afin d’être en opposition avec le vilebrequin.

Nous voyons bien que le couple ainsi généré contrariera le galop :

Lancer ensuite le mapping du couple harmonique à l’ordre 1 du galop net, puis du lacet net, en fonction de la valeur du produit d’inertie Iyz du vilebrequin, tel que :

On observe alors plusieurs points remarquables, signalant de facto deux possibilités d’équilibrage partiel ou total des couples bruts, notamment :

· Une première valeur de Iyz pour laquelle le couple de lacet devient nul, avec une réduction du couple de galop de près de 40% : c’est un bon début, et cela simplement par l’introduction sur le vilebrequin d’un balourd de 4500 kg.mm².

· Une seconde valeur de Iyz de 8294.6 kg.mm² permettant d’égaliser les couples de galop et de lacet. Cette intersection est intéressante, car il suffira d’ajouter un arbre d’équilibrage contrarotatif tournant au régime moteur pour supprimer définitivement le galop et le lacet à l’ordre 1. Evidement, ceci est possible car le décalage entre les couples de galop et de lacet bruts est de 240°-150° = 90°. C’est généralement ce dernier mode d’équilibrage qui est adapté.

Amplitude des couples de galop et de lacet à l’ordre 1 en

fonction du produit d’inertie du vilebrequin Iyz

Il nous reste encore à définir la valeur du produit d’inertie de cet arbre d’équilibrage contrarotatif. Pour cela, il suffit de connaître le module des couples de galop et lacet nets à l’ordre 1, en ayant préalablement calibré le produit d’inertie du vilebrequin dans le plan YZ à 8294.6 kg.mm².

On observe alors des couples harmoniques d’ordre 1 identiques pour le galop et le lacet dont le module est égal à 3.860 N.m, mais déphasé de 90°.

En conséquence, il suffit donc d’ajouter un arbre tournant dans le sens horaire, ayant un produit d’inertie Iyz de 3860.5 kg.mm² (attention à l’unité), et déphaser de -30°. Il ne restera que le couple de galop à l’ordre 2 qui ne sera pas équilibré. Cela n’a pas d’importance fondamentale car la valeur du module reste assez faible vis-à-vis des efforts bruts.

Le schéma qui suit résume le calage angulaire des balourds (notez également le signe du calage, qui est déterminer en fonction du sens de rotation choisi) :

Une dernière vérification nous permet de vérifier la qualité de l’équilibrage, tel que :